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库尔盖尔，这位杰出的奥地利数学家和逻辑学家，是20世纪最重要的学者之一。在第二次世界大战前，移居美国，并在普林斯顿的高级研究院工作，成为爱因斯坦以及其他著名科学家的同事。库尔盖尔的学术成就特别体现在他的两大不完全性定理上，这两条定理揭示了数学推理的内在局限性，表明某些数学命题无法在给定系统内证明或推翻。爱因斯坦曾言，自己来到普林斯顿的唯一原因，就是为了晚上能和库尔盖尔一起走回家，显然，爱因斯坦认为库尔盖尔的智慧远胜自己。

数学的研究方式是什么？物理学建立在数学的基础上，化学又依赖物理学，生物学则建立在化学的基础上。那么，数学又是建立在什么基础上的呢？数学是建立在公理之上的。每个数学领域都可以看作是一个形式系统，而这个系统的核心是公理体系，也称公设。公设是被认为理所当然的陈述，通常无需证明。

最早的形式系统之一是欧几里得几何，它大约在2200年前由欧几里得在其著名的《几何原本》一书中提出，这一学科至今仍是学校里常见的内容。欧几里得几何研究的是平面几何，平面指的是像桌面一样向所有方向无限延伸的完美表面。在这个几何学科中，研究的对象包括线条、三角形、圆等图形。

例如，一个公理是：“如果有两个不同的点，它们不重合，那么在平面上通过这两个点将有一条唯一的直线。”这个命题可能看起来很自然，但它其实是一个数学公理。要建立数学体系，必须从某个起点开始，并选择一些公设或陈述，假定这些陈述是显而易见的，无需证明。通常，这些公设是直观清晰的，但它们是数学体系的基础，无法缺少。

这些公理可以被看作是“观察者”，因为它们在选择时包含了一定的主观性。那么，谁来选择这些公理呢？正如Alan WS常说的，“谁来观察观察者？”在数学中，数学家们的选择其实有些类似于镜子游戏。通常我们认为数学是客观的，是唯一的客观科学，没错，但这背后隐藏了一个事实——数学是建立在公理之上的，而这些公理并非唯一，实际上存在多种选择。

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欧几里得几何是一个很好的例子。欧几里得提出了五个公理，其中四个是显而易见的，而第五个被称为著名的“平行公设”。它的内容是：如果有一条直线和一个点，且该点不在这条直线上的话，那么通过这个点将有一条唯一的直线与原直线平行，不会与之相交。欧几里得本人对这一公设感到不安，因为它假设了一个并不显而易见的命题。长时间以来，数学家们尝试从其他更直观的公理中推导出这一公设，但始终未能成功。直到近2000年后，数学家们才意识到，不仅无法推导出这个公设，实际上，如果采用它的对立面，依然可以得到一致且合法的数学结果，这就是非欧几里得几何。

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非欧几里得几何并不复杂，可以通过具体的例子来理解。比如，想象一个球体的表面，比如篮球的表面或地球的表面（理想化的）。在这样的表面上，点和直线的关系与欧几里得平面中的情形不同，任何两条经线都会相交，而在欧几里得几何中，平行线永远不相交。此外，还有超球面几何，其中有无数条直线彼此不相交。

这些例子表明，通过不同的公理选择，可以创造出不同的数学体系。

在数学中，推理规则起着重要作用，比如“如果A为真且A推导出B，那么B也为真”。这些推理规则大部分在欧几里得之前就由亚里士多德提出。数学的基本构架是这样的：首先有一些公理，这些公理被接受为真。然后，通过使用逻辑推理规则，可以从这些公理推导出新的命题，这些新命题被称为定理，并将其加入到真命题的集合中。那么，问题就来了：能够推导出多少个命题呢？显然，我们希望这个系统不是平凡的，换句话说，它不能推导出所有命题。如果能够推导出所有命题，那么就意味着系统自相矛盾，既证明了命题A为真，又证明了命题A的否定为真，这显然毫无意义。因此，系统必须具有足够的区分度，不能推导出矛盾的命题。

因此，数学家们讨论一致性的问题：这个系统必须是自洽的，不能出现矛盾。直到20世纪初，数学界普遍认为，所有的数学命题都可以通过这种推理过程来推导出来。只需要找到正确的公理系统，并遵循这个推理程序，所有需要的命题都能通过这个程序生成。实际上，这个过程是一个算法过程，理论上可以在计算机上实现。

那么，这个过程有什么特别之处呢？在这个过程中，实际上只是在操控符号。从一个命题推导到另一个命题，而不需要真正理解其含义。这就像计算机程序的运作，它是一个纯粹的语法过程，遵循着一些严格的规则，从一个命题推导出另一个命题。大多数数学家相信，通过这种方式可以生成所有正确的命题。如果这一点成立，那么它会为“生活一切皆计算”的命题提供很多可信度——因为至少数学是计算的，它可以被编程，并且在足够的时间内，依靠计算机的能力，最终可以生成所有正确的命题。

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然而，哥德尔的第一不完备定理表明，情况并非如此。他不仅仅提出了这一点，还通过极为严谨的数学证明了这一结论——也就是说，在他所研究的另一个形式系统中，做出了这一证明。更准确地说，他证明了：如果有一个足够复杂的形式系统，即这个系统可以处理数字，包括1、2、3等整数，并能够形式化加法和乘法操作，而且该系统是一致的（即它并非完全无用），那么在这个系统中将存在一个命题，它无法通过标准的推理过程——从公理推导出定理——来证明。这是一个令人震惊的发现。于是，1931年成为了逻辑学和数学革命的起点，至今我们仍能感受到这一发现带来的深远影响。

在大约同一时期，计算机的雏形开始出现，计算系统的工程学逐步成型。图灵（Alan Turing）被认为是现代计算的奠基人，他实际上做了类似的工作——提出了停机问题，并证明了这一问题无法通过算法解决。也就是说，我们无法从所有计算机程序中判断哪些是有意义的，哪些不是，哪些程序会停止，哪些程序不会停止。这一结论在某种程度上是令人沮丧的，至少从某些角度来看。

然而，从另一个角度来看，这也是一种肯定生活复杂性的结果，因为一切都充满了悖论。这意味着，如果我们从一开始就坚信某个观点，然后突然发现它不成立，的确是令人失望的。不过，我的反驳是：如果他证明了所有事情都能被证明，那么作为数学家还能做什么呢？那样一来，数学将失去意义。对我来说，恰恰是因为存在不完备性，这给了我们机会去做新的尝试，去发现新的东西，而计算机也许永远无法完成这些探索——当然，基于我们现在的理解，也许未来会有新的技术和思想，改变我们对“计算”一词的定义。

比如如今，我们提到图灵机或者丘奇理论，但如果未来有像图灵一样的天才提出一种全新的视角，理论将会发展，就像从牛顿的引力理论到爱因斯坦的引力理论一样。也许在新的框架下，会有其他可能性浮现出来。因此，这不仅仅是确定它是什么，或者它应该是什么，而是看作一个开放的过程。我认为，这种开放性比确定唯一的答案更有意义。

你是否曾经了解或思考过细胞自动机和“涌现”这一概念吗？每当我回想起《生命游戏》，看到其中的现象，都会感到非常震撼。那些简单的规则和分布式系统竟能表现出如此复杂的行为，让人不禁产生怀疑：也许我们所谓的计算在最基本的层面上是简单的，但当你转向更高层次的抽象，站在更远的视角去看，你可能会发现比最初规则更加复杂、更加有趣和美丽的东西。

我们的科学直觉曾经认为这些简单的规则不可能产生如此复杂性和美丽。我不确定是否有人能够给出一个明确的答案，或者关于“为什么复杂性会从简单事物中涌现”的模型。这是一个“为什么”的问题，而不是“怎样”的问题。每个“为什么”问题最终会有一个答案，可能并非严格的答案，而是一个近似的，像量子力学那样，99%的准确度就能描述清楚。但也许在100年后，或者明年，某个人会提出不同的见解，突然改变我们的视角。

当我们谈到神经网络时，我们谈论的是训练数据和其他东西，例如你喂给程序一些图片，尝试找到一个优化的神经网络来判断这是一只狗还是一只猫。但有时，程序并没有一个明确的答案。你该怎么办呢？其实我不知道现代的人工智能是否已经意识到这个问题，事实上，有时你会有一张图片，你无法确定它到底是什么。从一个角度看它是一只兔子，从另一个角度看它是一只鸭子。如果神经网络需要区分兔子和鸭子，那么它该如何处理呢？这个问题的简单解决方法是：给出一个概率，比如这是一只鸭子的概率，这是一只兔子的概率。这是一个不错的办法，但我还想说，对于每一张这样的图片，我的思维会立刻有某种解读，但没有一个“固定的百分比”。

因为我知道其他人可能会从不同的角度看待它，我就会不断地思考、努力睁大眼睛，尝试从不同的视角去观察。有时我能立刻看到，然后在两种视角之间迅速切换，而有时对于某些图片，我需要花一些时间才能看出不同的角度。因此，从这个角度来看，即使存在这些概率，它们也是主观的。有些人会立刻以一种方式看到它，而其他人则可能从另一种方式看。我认为没有人能够完全解释这个问题，无论是心理学家、神经科学家还是哲学家。

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作为一个科学的思维者，尽管我说过不应该追求解释，给神秘主义留点空间，但我还是希望能够得到一个理论，一个解释。最接近的解释是尼尔斯·玻尔的互补性原理，类似于粒子和波的关系，展示了不同的观察方式。从某个角度看，另一面就会被遮蔽。就像月亮的另一面，我们只能看到月亮的这一面，无法看到另一面，但这并不意味着月亮不存在另一面，它仍然是月亮。问题在于我们无法完全理解整体，这正是互补性。量子力学告诉我们，我们的物理现实并不是确定的，它有多种不同的理解方式，我们应该接受这一点。

顺便提一下，在神经网络的讨论中，我想强调的是，最终人类是建立在人类之上的。例如，ChatGPT 就是通过人类反馈的强化学习来训练的，实际上是通过一组人类来教导这些网络，这往往是人们忽视的一点。我时常思考，标注数据并将数据输入网络的人，他们每个人都有自己的人生经历，带着他们的偏见，喜欢一些东西，排斥其他东西。这些偏见可能悄悄地渗透到背后，甚至他们自己也未必意识到。这正是你提到的一个重要问题，在我看来，这不是缺陷，而是特性。

当我们讨论计算问题时，潜在的假设是，我们的意识能够完全控制我们的内心世界，但我们都知道事实并非如此。每个人都见过一些表现出破坏性倾向的人，显然他们做了一些对自己有害的事，我们中的很多人也有过类似的经历，这是人性的一部分。在过去100年里，分析心理学的研究已强烈证明了卡尔·荣格所说的“个人无意识”和“集体无意识”的存在，这些潜藏在背后的想法能够激发我们强烈的情感，推动我们以某种方式行动，尽管我们并不完全理解它们。因此，如果我们接受这一点，命题便是：无论我们的行为看起来多么中立、多么正义、多么意识清晰，它们背后总有一些我们未曾意识到的心理因素，这种观点就显得尤为有趣。

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